回顾第三章学习笔记。

1 旋转矩阵

1.1 点，向量，坐标

基本概念，在讨论坐标的过程中，必须基于某一个坐标系。
介绍了向量内积和向量外积的计算方式，向量的内积很容易理解，外积可以用来表示向量的旋转。

1.2 坐标系间的欧式变换

与向量之间的旋转类似，坐标系之间也可以进行旋转运算，再添加平移操作，综合起来叫做坐标系间的变换操作。
欧式变换，是同一个向量在不同的坐标系下的长度和夹角都不发生变化。

根据一个向量，在坐标系发生旋转变化的时候，坐标不会发生变化，推理出旋转矩阵R，旋转矩阵是正交矩阵，并且行列式为1，由此引出特殊正交群（SO）。
通过添加平移向量，以及齐次变换，计算得到变换矩阵T。

2 实践Eigen

eigen是一个矩阵运算库，可以很方便的进行矩阵运算。

3 旋转向量与欧拉角

3.1 旋转向量

旋转操作只有3个自由度，但是旋转矩阵需要9个量来表示，有变量冗余，同样，变换操作有6个自由度，但是变化矩阵需要16个量表示，也存在冗余。减少量的计算。

向量的外积可以表示两个向量的旋转向量。对于坐标系的旋转，可以用一个旋转轴和一个旋转角度表示，定义这样一个向量，方向与旋转轴一致，大小等于旋转角，这种向量乘坐旋转向量。
用三个变量的旋转向量表示旋转变换，再添加三个变量的平移向量，就可以表示变换操作。正好是6个变量。
旋转向量与旋转矩阵的变化是通过罗德里格斯公式计算。

3.2 欧拉角

欧拉角是另外一种使用角度的方式表示旋转，即三个坐标轴的旋转，表示整个坐标系的旋转。
最典型的是ZYX旋转，第一次Z轴旋转，表示偏航（yaw），第二次Y轴旋转，表示俯仰（pitch），第三次是X轴旋转，表示滚转（roll）。
但是第二次旋转若是90度的话，会遇到万向锁问题，失去一个自由度。

欧拉角直观理解很方便，但是不会直接用来计算。

4 四元数

4.1 四元数的定义

采用旋转向量或者欧拉角表示旋转会存在奇异性问题，用3个变量表示三维空间存在这样的问题，那就用4个变量表示三维空间。
四元数就是这个么个玩意儿，一个实部，3个虚部，紧凑并且没有奇异性。

关于四元数表示旋转的性质，有一大堆需要理解。

4.2 四元数的运算

类似于复数的运算。

4.3 用四元数表示旋转

四元数旋转运算的结果会是一个纯虚四元数，其中的三个虚部分别表示旋转后的坐标。

4.4 四元数到旋转矩阵的转换

5 相似、放射、影射变换

欧式变换是最简单的变换，保持了向量的尺度和角度都不变化，只是6个自由度的变换。
相似变换比欧式变化多了一个自由度，对物体的尺度进行了放缩，有7个自由度。
仿射变换只要有旋转矩阵是一个可逆矩阵，不必是正交矩阵，放射变换又被乘坐是正交变换，物体的形状发生了变换，但是保持平行，具有体积比。
射影变换是最一般的变换，自然界投影到相机就是射影变换。

6 实践Eigen的Geometry模块

Eigen中的几何模块介绍很详细，使用简单。